Logica e matematica

Aristotele è il primo pensatore a creare un compiuto sistema di logica. Già negli Analitici II è proprio lui ad indicare i termini (soggetto, predicato) e le stesse proposizioni con delle lettere, indicando, così, una via che sarà seguita per secoli.
Gli stoici danno importanti apporti nel campo della logica, cominciando a studiare il modo con cui si pongono le proposizioni; sono proprio loro a servirsi della implicazione (se p è vero, q è vero; ma se q è falso, dunque p è falso).
Nel medioevo, gli studi di logica hanno un grande sviluppo. Si citano, per i loro contenuti: Abelardo, Guglielmo di Sherwood, Pietro Ispano, Guglielmo di Ockham.
Nel XVIII secolo, il filosofo tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1646 – Hannover, 1716) propone una formulazione della logica che si avvale di una aritmetizzazione in cui i fondamenti della logica e della matematica si fondono insieme. . Con lui il ragionamento si propone come un calcolo matematico. Non occorre discutere; basta calcolare.
Si può dire che la logica matematica, così come la concepiamo oggi, ha inizio con l’opera dell’inglese George Boole; con questo studioso le leggi della logica aristotelica sono proposte in termini algebrici.
Bernhard Riemann e Georg Cantor approfondiscono il rapporto di due discipline: la logica e la matematica.
L’italiano Giuseppe Peano, presenta la matematica tradizionale come un sistema organizzato.
Il tedesco Gottlob Frege e l’inglese Bertrand Russel concepiscono il numero come una classe, ed una classe come un complesso di individui.

Profili dei maggiori studiosi di logica matematica*

	George Boole (Lincoln 1815 – Cork 1864) è considerato uno dei fondatori dell’algebra astratta. Fu il primo ad avere piena coscienza dell’applicabilità dell’algebra alle funzioni logiche.
	Georg Cantor (San Pietroburgo, 1845 – Halle 1918) è il primo ad esporre, in forma compiuta e rigorosa, la teoria degli insiemi.
	Gottlob Frege (Wismar, 1848 – Bad Kleinen, 1925) introduce un sistema di notazioni ideografiche. Fonda la teoria degli aggregati e dei numeri.
	Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 1858 – Torino, 1932) come logico dette un eccezionale contributo alla logica delle classi, elaborando un simbolismo di grande chiarezza e semplicità.
	Alfred North Whitehead (Ramsgate, 1861 – Cambridge, 1947) e Bertrand Arthur William Russell (Trellech, 1872 – Penrhyndeudraeth, 1970) nell’opera Principia Mathematica (1910) studiano i fondamenti della logica matematica, la logica delle proposizioni ed enunciano la teoria dei tipi.
	Kurt Gödel (Brno, 1906 – Princeton, 1978) noto soprattutto per i suoi lavori sull'incompletezza delle teorie matematiche. Gödel è ritenuto uno dei più grandi logici di tutti i tempi insieme a Frege e Aristotele (da Wikipedia).

* Nel costruire i profili di questi pensatori ci siamo avvalsi della iconografia fornita da Wikipedia alle voci corrispettive ed ancora all'opera che ha per titolo "Risposte - Sapere subito tutto" - Enciclopedia Universale di base - DeAgostini - Novara, 1991.

Analisi di un enunciato. L'arco è la somma di due debolezze.

L’arco è la somma di due debolezze (Leonardo da Vinci). Come dire: due debolezze fanno una forza. Strabiliante affermazione, espressa in linguaggio figurato, traducibile in linguaggio astratto, che trova applicazione e verifica, in molteplici campi.
Prima di tutto nella logica dove due termini si incontrano con un medio che funziona
come chiave di volta dell’arco. Prendiamo in esame un sillogismo così articolato:
La lavagna è nera, La lavagna è una pietra.
Qualche pietra è nera.
Dove si vede che due proposizioni convergono insieme determinando la solidità di un'unica forza: la conclusione di un ragionamento.
Questo principio è traducibile in una norma che vale anche per l’istituto del matrimonio dove due esseri differenziati ma complementari si uniscono a formare una nuova unità. Le carenze dei due coniugi si compensano a vicenda. Niente è più precario di un semiarco; ma se due semiarchi si uniscono diventano una cosa molto forte.
In un team di ricerca il successo diventa più raggiungibile se le valenze dei diversi componenti risultano differenziate; anche qui vale il principio della compensazione reciproca.
Pensiamo alla nitroglicerina dove un elemento dotato di una impalpabile volatilità si unisce alla fluida consistenza della glicerina ( olio usato perfino in cosmesi ).
Ciò che esce che questa fusione è un esplosivo deflagrante ed il Nobel che la inventò non avrebbe mai pensato che una combinazione del genere trovasse un impiego perfino nella medicina.

Analisi di un enunciato. Il buio rende più fulgida la notte

Croce del sud

Il buio rende più fulgida la notte. Accade questo accade, di sentire ripetere il lamento da parte di persone che esprimono pessimismo assoluto nella considerazione di ciò che succede o non succede: il mondo và male, tutto volge al peggio; Puoi fare un gesto di bontà: chi se ne accorge;
La verità e la stessa bontà non sono evidenziate di fronte all’enorme spettacolo dell’ errore e della malvagità umana. Fare il bene ed annunziare la verità è perfettamente inutile in un mondo così.
Ma è proprio vero che le tenebre riescono a soffocare la luce? Nel prologo di San Giovanni si legge che le tenebre non riuscirono a soffocare la luce.
Ecco il significato della nostra affermazione: il buio evidenzia la luce; quanto più è buio tanto più rifulgono le stelle, in definitiva è proprio il buio ad evidenziare la luce. Una risposta ottimistica indirizzata a tutti coloro che lamentano il caos morale presente nel mondo.
E’ ancora vero che la musica risuona ancora di più nel silenzio, così come la luce rifulge ancora di più nel buio più cupo.
Su un altopiano etiopico dove non giungono i pulviscoli luminescenti delle metropoli puoi contemplare veramente la meraviglia del cielo stellato e può anche accadere che nel grande silenzio della savana ti giunga il verso di un uccello che canta ad un chilometro di distanza.

Analisi di un enunciato. L'anello più debole

Prendiamo in esame questa frase del celebre scrittore inglese G.K. Chesterton:
Una catena non è più forte del suo anello più debole.
Stupefacente esempio di un criterio logico tradotto magistralmente in metafora!
Si tratta di un criterio che ha molteplici implicazioni ed applicazioni prima di tutto nella logica e che risulta, tuttavia, valido anche nel campo dell'etica, dell'estetica e perfino della politica.

Ecco la trasposizione logica della nostra proposizione: Peiorem semper sequitur partem [ La conclusione segue sempre la parte peggiore ].
La logica classica introduce questa massima per dire che una conclusione non può essere generale se parte da una premessa particolare, né può essere positiva se parte da una premessa negativa. Questo, ancora più di un criterio, è un cardine su cui gira il portale di questa scienza.

E' ancora la Scolastica ad offrirci una versione etica dello stesso criterio: Bonum ex integra causa: malum ex quocumque defectu [ Il bene risulta dalla totalità dei requisiti richiesti; la mancanza anche di uno solo basta a compromettere il tutto]. La morale, che riguarda la sfera del comportamento umano, ci insegna che dare un aiuto ad una persona indigente è una cosa buona, a meno che non si compia questo gesto con una intenzionalità cattiva: quanto all'estetica, è addirittura evidente che un naso storto svaluta la bellezza degli altri tratti del volto. Parallelamente, una piccola incrinatura nella sezione di una longarina basta ad allarmare un buon ingegnere.
Chesterton nel dire questo si riferiva a Giuda per suffragare l'affermazione che la fedeltà di undici apostoli non fu sufficiente ad impedire il tradimento di uno solo.

Questo offre indicazioni valide nei posizionamenti sindacali dove la frase è semplicemente tradotta così: Boia chi molla!. Offre ammonizioni ancora più importanti nel campo delle alleanze dove è sbagliato rafforzare tutti gli altri anelli se ce n'è anche uno solo che non è più affidabile: è questo un settore per il quale mi permetto di citare un antico e sconosciuto proverbio greco che recita così:
Meglio un vero nemico che un falso amico .