Logica e matematica

Aristotele è il primo pensatore a creare un compiuto sistema di logica. Già negli Analitici II è proprio lui ad indicare i termini (soggetto, predicato) e le stesse proposizioni con delle lettere, indicando, così, una via che sarà seguita per secoli.
Gli stoici danno importanti apporti nel campo della logica, cominciando a studiare il modo con cui si pongono le proposizioni; sono proprio loro a servirsi della implicazione (se p è vero, q è vero; ma se q è falso, dunque p è falso).
Nel medioevo, gli studi di logica hanno un grande sviluppo. Si citano, per i loro contenuti: Abelardo, Guglielmo di Sherwood, Pietro Ispano, Guglielmo di Ockham.
Nel XVIII secolo, il filosofo tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1646 – Hannover, 1716) propone una formulazione della logica che si avvale di una aritmetizzazione in cui i fondamenti della logica e della matematica si fondono insieme. . Con lui il ragionamento si propone come un calcolo matematico. Non occorre discutere; basta calcolare.
Si può dire che la logica matematica, così come la concepiamo oggi, ha inizio con l’opera dell’inglese George Boole; con questo studioso le leggi della logica aristotelica sono proposte in termini algebrici.
Bernhard Riemann e Georg Cantor approfondiscono il rapporto di due discipline: la logica e la matematica.
L’italiano Giuseppe Peano, presenta la matematica tradizionale come un sistema organizzato.
Il tedesco Gottlob Frege e l’inglese Bertrand Russel concepiscono il numero come una classe, ed una classe come un complesso di individui.

Profili dei maggiori studiosi di logica matematica*

George Boole (Lincoln 1815 – Cork 1864) è considerato uno dei fondatori dell’algebra astratta. Fu il primo ad avere piena coscienza dell’applicabilità dell’algebra alle funzioni logiche.
   
Georg Cantor (San Pietroburgo, 1845 – Halle 1918) è il primo ad esporre, in forma compiuta e rigorosa, la teoria degli insiemi.
   
Gottlob Frege (Wismar, 1848 – Bad Kleinen, 1925) introduce un sistema di notazioni ideografiche. Fonda la teoria degli aggregati e dei numeri.
   
Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 1858 – Torino, 1932) come logico dette un eccezionale contributo alla logica delle classi, elaborando un simbolismo di grande chiarezza e semplicità.
   

Alfred North Whitehead (Ramsgate, 1861 – Cambridge, 1947) e Bertrand Arthur William Russell (Trellech, 1872 – Penrhyndeudraeth, 1970) nell’opera Principia Mathematica (1910) studiano i fondamenti della logica matematica, la logica delle proposizioni ed enunciano la teoria dei tipi.
   
Kurt Gödel (Brno, 1906 – Princeton, 1978) noto soprattutto per i suoi lavori sull'incompletezza delle teorie matematiche. Gödel è ritenuto uno dei più grandi logici di tutti i tempi insieme a Frege e Aristotele (da Wikipedia).

* Nel costruire i profili di questi pensatori ci siamo avvalsi della iconografia fornita da Wikipedia alle voci corrispettive ed ancora all'opera che ha per titolo "Risposte - Sapere subito tutto" - Enciclopedia Universale di base - DeAgostini - Novara, 1991.


Analisi di un enunciato. L'arco è la somma di due debolezze.

Arco

L’arco è la somma di due debolezze (Leonardo da Vinci). Come dire: due debolezze fanno una forza. Strabiliante affermazione, espressa in linguaggio figurato, traducibile in linguaggio astratto, che trova applicazione e verifica, in molteplici campi.
Prima di tutto nella logica dove due termini si incontrano con un medio che funziona
come chiave di volta dell’arco. Prendiamo in esame un sillogismo così articolato:
La lavagna è nera, La lavagna è una pietra.
Qualche pietra è nera.

Dove si vede che due proposizioni convergono insieme determinando la solidità di un'unica forza: la conclusione di un ragionamento.
Questo principio è traducibile in una norma che vale anche per l’istituto del matrimonio dove due esseri differenziati ma complementari si uniscono a formare una nuova unità. Le carenze dei due coniugi si compensano a vicenda. Niente è più precario di un semiarco; ma se due semiarchi si uniscono diventano una cosa molto forte.
In un team di ricerca il successo diventa più raggiungibile se le valenze dei diversi componenti risultano differenziate; anche qui vale il principio della compensazione reciproca.
Pensiamo alla nitroglicerina dove un elemento dotato di una impalpabile volatilità si unisce alla fluida consistenza della glicerina ( olio usato perfino in cosmesi ).
Ciò che esce che questa fusione è un esplosivo deflagrante ed il Nobel che la inventò non avrebbe mai pensato che una combinazione del genere trovasse un impiego perfino nella medicina.


Analisi di un enunciato. Il buio rende più fulgida la notte


Croce del sud

Il buio rende più fulgida la notte. Accade questo accade, di sentire ripetere il lamento da parte di persone che esprimono pessimismo assoluto nella considerazione di ciò che succede o non succede: il mondo và male, tutto volge al peggio; Puoi fare un gesto di bontà: chi se ne accorge;
La verità e la stessa bontà non sono evidenziate di fronte all’enorme spettacolo dell’ errore e
della malvagità umana. Fare il bene ed annunziare la verità è perfettamente inutile in un mondo così.
Ma è proprio vero che le tenebre riescono a soffocare la luce? Nel prologo di San Giovanni si legge che le tenebre non riuscirono a soffocare la luce.
Ecco il significato della nostra affermazione: il buio evidenzia la luce; quanto più è buio tanto più rifulgono le stelle, in definitiva è proprio il buio ad evidenziare la luce. Una risposta ottimistica indirizzata a tutti coloro che lamentano il caos morale presente nel mondo.
E’ ancora vero che la musica risuona ancora di più nel silenzio, così come la luce rifulge ancora di più nel buio più cupo.
Su un altopiano etiopico dove non giungono i pulviscoli luminescenti delle metropoli puoi contemplare veramente la meraviglia del cielo stellato e può anche accadere che nel grande silenzio della savana ti giunga il verso di un uccello che canta ad un chilometro di distanza.


Analisi di un enunciato. L'anello più debole

Prendiamo in esame questa frase del celebre scrittore inglese G.K. Chesterton:
Una catena non è più forte del suo anello più debole.
Stupefacente esempio di un criterio logico tradotto magistralmente in metafora!
Si tratta di un criterio che ha molteplici implicazioni ed applicazioni prima di tutto nella logica e che risulta, tuttavia, valido anche nel campo dell'etica, dell'estetica e perfino della politica.

Ecco la trasposizione logica della nostra proposizione: Peiorem semper sequitur partem [ La conclusione segue sempre la parte peggiore ].
La logica classica introduce questa massima per dire che una conclusione non può essere generale se parte da una premessa particolare, né può essere positiva se parte da una premessa negativa. Questo, ancora più di un criterio, è un cardine su cui gira il portale di questa scienza.

E' ancora la Scolastica ad offrirci una versione etica dello stesso criterio: Bonum ex integra causa: malum ex quocumque defectu [ Il bene risulta dalla totalità dei requisiti richiesti; la mancanza anche di uno solo basta a compromettere il tutto]. La morale, che riguarda la sfera del comportamento umano, ci insegna che dare un aiuto ad una persona indigente è una cosa buona, a meno che non si compia questo gesto con una intenzionalità cattiva: quanto all'estetica, è addirittura evidente che un naso storto svaluta la bellezza degli altri tratti del volto. Parallelamente, una piccola incrinatura nella sezione di una longarina basta ad allarmare un buon ingegnere.
Chesterton nel dire questo si riferiva a Giuda per suffragare l'affermazione che la fedeltà di undici apostoli non fu sufficiente ad impedire il tradimento di uno solo.

Questo offre indicazioni valide nei posizionamenti sindacali dove la frase è semplicemente tradotta così: Boia chi molla!. Offre ammonizioni ancora più importanti nel campo delle alleanze dove è sbagliato rafforzare tutti gli altri anelli se ce n'è anche uno solo che non è più affidabile: è questo un settore per il quale mi permetto di citare un antico e sconosciuto proverbio greco che recita così:
Meglio un vero nemico che un falso amico .

 

The second mental act: judgement

Judgement is the second of the three mental acts contemplated in syllogistic logic resulting in a mental product called the enunciation. An enunciation may be rendered either verbally or in writing.  A judgement may either assert or negate something:

operatio qua intellectus aliquid dicit de altero, adfirmando vel negando.

Example: Peter doesn’t work; Peter is a loafer.

Here we have two judgements, the former is formulated negatively, the latter positively.
As the external representation of an internal act, the enunciation is also referred to as “signum iudicii”. Clearly, then,  a judgment and its enunciation may be considered as practically homologous. Lets now take a look at what goes to make up an enunciation, that is at its constitutive parts.

 

An enunciation’s constituent parts

An enunciation typically comprises: a subject, that is the object about which the enunciation predicates; a predicate, that is the contents of the predication; a copula, that is the particle linking the subject and the predicate to each other. (Before continuing, it is worth noting that the copula is implicit in so called verbal predicates. “Jill studies”, for example, may also be rendered as “Jill is a student”.) So much said from the point of view of logic, lets now see what grammar has to say.
An enunciation is more commonly referred to in grammar as a proposition. Essential elements in a proposition are the noun and verb.  A noun is a linguistically identifiable unit already endowed with some meaning that is more fully defined upon being syntagmatically linked to a verb. Thus combined they form a proposition that may be either true or false. A verb is likewise a meaning-endowed unit that confers a precise meaning to a proposition when syntagmatically related to a subject. Time reference in a proposition is largely the work of verbs as verbs intrinsically carry and convey the sense of time. “I loved” naturally evokes the past; “I love”, an indeterminate present; “I shall love”, the future.
The noun, then, embodies the subject of the proposition. It should be noted, though, that the  subject may be given by several words, such as in “Fabius, the procrastinator”.  Likewise, a verb may consist of a one or more words, such as in “love/s”, for instance, where it acts as a verbal predicate, or in “is a student”, which combines copula and nominal predicate. Here is a further example: est has the meaning of “to exist” (actus essendi) but it also functions as copula, so that we may have “GOD is” (exists) and GOD is (copula) eternal. It is worth noting, though, that even when “is” functions as a copula, it implicitly preserves its meaning of “to exist”. “Charles is a student” also tells me that Charles exists, for otherwise how could he be a student?
In conclusion, then, a noun linked to a verb generates, grammatically speaking, a statement or proposition, which, as an enunciation, is amendable to logical analysis.

 

Various types of enunciations

Lets start with two enunciations - a simple one (Mark works) and a compound one (Mark works if he gets paid) in which there are more than one subject and one predicate.
First, lets take a closer look at the simple enunciation.
Depending on its material contents, that is what an enunciation says about the subject and how it says it, it may be classified in any of a number of the following ways:
necessary – whenever the predicate necessarily befits the subject (e.g. “Man reasons.”);
impossible – whenever the predicate in no way befits the subject (e.g. “Man flies.”); possible – whenever the predicate may befit the subject (e.g. “Man can run.”);
contingent – whenever  the predicate does as a matter of fact but not necessarily befit the subject (e.g. Jane mightn’t run).
What’s more, depending on its consistency or inconsistency with substantiated knowledge regarding the subject the enunciation may be classified as either true or false.
Then, quality-wise an enunciation may either negate or affirm something about the subject, depending on whether it is formulated negatively or positively. Two important rules have been drawn up on the basis of this difference:

  1. In enunciatione affirmativa praedicatum accipiendum est cum tota sua comprehensione, non vero secundum totam suam extensionem;
  2. In enunciatione negativa praedicatum accipiendum est cum tota sua extensione, non vero cum tota comprehensione.

Here we see two important concepts that deserve closer scrutiny. In particular, the concept of “extension” is important for the truth value of an enunciation for it raises the question of how much a given subject encompasses and hence to how many individuals the enunciation may apply. An enunciation’s extension, then, depends on its subject’s extension, so that for a singular, indefinite, particular, or universal subject, its corresponding proposition will be equally singular, indefinite, particular, or universal.
An enunciation may be said to be universal when its subject is a common term qualified by a boundless quantifier, such as in: “All humans laugh.”.
An enunciation may be said to be particular when its subject is given by a common term qualified by a restrictive quantifier, such as in: “Some humans are wise.”.
An enunciation may be said to be indefinite when its subject is a common term unqualified by any quantifier, such as in: “Planta vivit.”.
A singular enunciation is one whose subject is a singular term as such or a common term restricted by specifier, such as in: “Jack runs.” or “That woman runs.”.

N.B. A term does not in itself require a universal quantifier to be considered universal. When part of a proposition, though, without this quantifier the term becomes indefinite. For example, as much as the term “man” in “Homo currit.” may be universal, it fails to make the proposition, of which it is a constituent part, universal. That’s because it may be translated as “Man runs.”, in the sense of an all-inclusive abstraction and hence sweeping generalisation (i.e. “all men”), or, far more restrictively, “A man runs.”.   
It should also be noted that an indefinite proposition may be considered universal whenever its material content, that is, what it says about the subject, is necessary or impossible. For example, “Homo est vivens.” is equivalent to saying “Omnes hominess sunt vivents.”, which is universal (and necessary), while “Homo non est petra.” is equivalent to saying “Nullus homo est petra.”, also universal (and impossible).

Finally, when classified according to its copula (i.e. its form) an enunciation may be either absolute or modal.
Absolute enunciations are the most common. The predicate in these cases is practically tagged onto the subject, so to speak, applying to it directly, such as in “Anne laughs.”, “Anne is good., and the like.
An enunciation is said to be modal when the predicate’s reference to the subject is such as to stress in what way it applies to the subject. For example, the meaning potential of  “Anne can laugh” and “Charles needs to be good” is essentially instantiated by the copula rather than by the subject or the predicate. Modality is rendered by such formulations as: it’s possible; it can/may be done; it’s necessary; it’s urgent; it may not; it’s impossible; it’s absurd; necessarily, and so on.